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野有雅兰的博客

质朴、自然、不事雕琢,内心浪漫,与世无争,强调个性而不张扬。

 
 
 

日志

 
 

一道争议了八百年的松鼠难题,只能感慨自然的神奇  

2016-11-21 18:59:22|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

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史上最著名的一道松鼠数学题是这样的:


上帝从伊甸园抓起一把土捏成松鼠亚当,又抽他一根肋骨变作松鼠夏娃。他们都有不死之躯,自由自在终日玩耍。由于太贪玩,二人从第二月开始每月生下兄妹一双。兄妹本着肥水不流外人田的精神,同样自二月大时生小兄妹一双并以每月2只的进度继续下去,小兄妹继续小小兄妹,然后小小生小小小,小小小再小小小小……这是一道天堂里的题,一切情况理想化,所以夫妻从来没有外遇一年之后伊甸园里统共有几对松鼠呢?


算法是,新一月松鼠总数=上月总数+上上月总数(因为每个月只有辈份最小的兄妹不生育,年长的则两只生两只,数量翻倍)。于是按月排列,松鼠对的数量是:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……后一项总是前两项之和


如果我说的不明白,当然也可以画图求解:


一道争议了八百年的松鼠难题,只能感慨自然的神奇 - 野有雅兰 - 野有雅兰的博客

眼尖的朋友们也许会看出来,这道被我篡改的难题原型是兔子,出题者是“中世纪最天才的数学家”斐波纳契(Fibonacci)。虽为天才,但惧怕老爸,该本性成为他的标签永世流传(Fibonacci意为Bonacci的儿子);“兔子问题”正是身为商人的老爸留给他的一道作业。

“0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987……”被称为斐波纳契数列。这位数学家更通俗的一项成就是将阿拉伯数字引入欧洲,于是当中国人写下“叁万捌仟肆佰陆拾壹加玖千贰佰伍拾柒等于肆万柒仟柒佰壹拾捌”时,欧洲人已将晕头转向的“xxxvMMMCDLX+MxCCLVII=xlvMMDCCXVIII”打入冷宫,转以“38461+9257=47718”代之。


言归正传,只有数学家才会因为一串产地伊甸园、毫无生产力价值的数兴奋不已。若真如此简单,斐波纳契数列也不能纠缠世人800年。


让我们先看动物界“疑难杂症”最多的小蜜蜂家族。除了一只蜂皇,所有劳动人民都是雌性,为双亲所生;雄蜂却是孤雌生殖的产物,是没有爹的短命仔。如下图所示,我们用拿一柄矛的“战神”表示雄性,用梳妆镜符号表示雌性,顺藤摸瓜地把二者祖宗八代都列出来。雄性的上辈、上上辈、上上上辈、上上上上辈祖宗数目分别为1个,2个,3,5,8,13;雌性2,3,5,8,13……于是斐波纳契数列显灵了


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如果连蜜蜂一例你都嫌太过“数学”,下边的例子保准属于美学范畴。

首先让我们以“斐波纳契数”为边长画出一组正方形(下图右上),由于数列中每数都是前二之和,所以不论你停止在哪个斐波纳契数,这些正方形都恰能转着圈地码成一个严丝合缝的“斐波纳契矩形”;再连接每个正方形的对角画出四分之一圆周(下图右下红线)——螺壳就这样诞生了(下图左)!绝妙的是,图中这颗螺壳卷了快三圈,最后两段圆弧的半径比55/89已经非常接近黄金分割的数值0.618


你可以除除看

——实际上斐波纳契数列越向远方伸展

相邻两数之比则离它越近

这道理正好像追求完美的道路“永无止境”


如果你数学再好一点,懂得勾股定理,请挑战下图右上的蓝线,你能看出来吗,这两条蓝线之比也总为黄金分割0.618。这颗螺,比划比划衣壳上的线段,它无法参透自己为什么在这一刻被斐波纳契数列灵魂附体,也不明白自己怎么长出这么多黄金分割,但它仍然美得不行;在大街上,有时候可以看到裸露的肩膀上晃着经典的“黄金分割模式图”纹身(下图右下),你便知道这位美女与科学是相结合的


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陈述了若干神秘现象,还需用一个有解的题目结束本文。

一头向日葵,中心的瓜子一律排成两组螺旋(如红色所示)。虽然螺旋的数目会因头大头小而变换多少,但它们总是连续的两个斐波纳契数。如果你能看清我画的红道,就可以在这朵中型大小的向日葵中得到验证,这里的两个斐波纳契数分别为21和34。可惜小时候从向日葵上扣瓜子的经历,既没有变作大脑里的数学,也没有变成眼里的美,倒是化作了门牙上那个豁口。


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用同样方式体现斐波纳契数列的还有如下“菜市场系列”,你总是能在这些圆鼓鼓的表面上发现顺反两组螺旋,二者数目在一串有名的数列中互为左邻右舍,比如图中松果是8和13,菜花是5和8。所以,每当进入菜市场,你其实已经卷入了一场斐波纳契狂舞


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果实的斐波纳契排布本属生物问题,然而它的解答却在一个中国的物理实验室现出端倪。科学家做出一些非常微小的凸起,用软软的银做核心,用坚硬的二氧化硅做外壳,当小凸起遭到快速冷却,坚硬外壳就会受到均匀拉扯……(此处省去千余字,见下图)从而莫名其妙地在没有生命的小凸上长出无数小痘痘,自动排成向日葵瓜子的阵列。这种排布体现了对能量的最低要求,还能同时保证小痘痘等距排列。结论是,向日葵头和菊花头不想减肥,所以从来不会费很大力气地把自己长成有棱角的方脸,然后将种子码成方阵;它们一致喜欢的则是平滑的圆锥形脸,并让脸上的小痘痘长成两个斐波纳契数的螺旋组,这不光最省体力,而且还能保证你吃到的瓜子既饱满又等大。


井井有条的习惯固然不可多得,但是人乱七八糟同样可以活得很好。

至于植物何以固执地摒弃无序、通过上万年突变的积累进化出一张完美的数学脸,我只能叹一句“神奇”作为回应。

via:科学松鼠会

编辑:@超模小编


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